Pengertian Kemampuan penalaran matematika

Penggunaan formal "nalar" sejalan dengan kembalinya peradaban Yunani kuno. Aristoteles mengemukakan hukum logika klasik dan menemukan silogisme sebagai alat penalaran. Sejak itu istilah penalaran telah digunakan dengan berbagai cara oleh psikolog, filsuf dan pendidik. Banyak peneliti telah melakukan penelitian untuk perluasan konsep penalaran dan untuk mengukurnya. Spearman percaya bahwa kemampuan penalaran tergantung sepenuhnya pada Tuhan dan tidak melibatkan faktor lain. Namun Thurstone, dalam penelitiannya tentang kemampuan manusia, mengidentifikasi dua faktor penalaran terpisah yang disebut induksi dan deduksi. Thurstone mendefinisikan bahwa faktor induksi sebagai kemampuan untuk menemukan aturan atau prinsip untuk setiap permasalahan, dan faktor deduksi sebagai kemampuan untuk memproses secara logika dan menerapkan prinsip-prinsip tersebut. Pada analisis ulang data Thurstone, Holzinger dan Herman, dan Eysenck juga mengidentifikasi sebuah faktor penalaran, sebuah kemampuan yang digolongkan sebagai ”thinking under restrictive conditions” yang ditandai secara jelas oleh sebuah uji yang terdiri dari permasalahan penalaranaritmetika (Tewari, 2003: 21-22). Baca selengkapnya...>>>

Klik di SIni untuk DOWNLOAD Skripsi FULL CONTENT

Penegrtian Pembelajaran matematika

 Pembelajaran matematika yang diberikan untuk anak sekolah menengah berbeda dengan pembelajaran yang diberikan pada anak SD. Hal ini karena anak pada usia ini sudah dapat belajar secara abstrak dengan penggunakan kemampuan penalarannya. Piaget mengemukakan bahwa anak pada usia 11-18 tahun yaitu pada tahap operasional formal, ciri pokok perkembangannya adalah anak sudah mampu berpikir abstrak dan logis dengan menggunakan pola berpikir “kemungkinan”. Model berpikir ilmiah dengan tipe hipothetico-deductive dan inductive sudah mulai dimiliki anak, dengan kemampuan menarik kesimpulan, mengembangkan dan menafsirkan hipotesa (Asri Budiningsih, 2008: 39)... Baca selengkapnya...>>>

Klik Disini untuk Download Skripsi Lengkap

Definisi Pengertian Matematika

 Secara etimologis matematika berarti ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar (Erman Suherman, 2003: 16). Dalam hal ini bukan berarti ilmu lain tidak diperoleh melalui penalaran, akan tetapi dalam matematika lebih menekankan aktivitas dalam dunia rasio (penalaran), sedangkan dalam ilmu lain lebih menekankan pada hasil observasi atau eksperimen di samping penalaran. Herman Hudojo (2005: 10 103) menyatakan matematika sebagai ilmu yang menelaah bentuk-bentuk atau struktur-struktur yang abstrak dan hubungan antara hal-hal itu. Objek penelaahan matematika tidak sekedar kuantitas, tetapi lebih dititik beratkan kepada hubungan, pola, bentuk dan struktur. Menurut James dan James yang dikutip Muh. Athar (2009), matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis, dan geometri. 

Baca selengkapnya...>>>

Klik Disini untuk DOWLOAD skripsi FULL CONTENT

Pengertian Pembelajaran

Menurut Zainal Aqib (2002: 41-42) pembelajaran adalah upaya untuk mengorganisasikan lingkungan untuk menciptakan kondisi belajar bagi peserta didik. Upaya tersebut bertujuan untuk mempersiapkan peserta didik untuk menjadi warga masyarakat yang baik, sehingga dapat menghadapi kehidupan di lingkungan masyarakat. Kegiatan pembelajaran dirancang untuk memberikan kegiatan belajar yang melibatkan proses mental dan fisik melalui interaksi antar peserta didik, peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumber belajar lainnya dalam rangka pencapaian kompetensi dasar (BSNP, 2006: 17). Berdasarkan beberapa pengertian di atas dapat disimpulkan bahwa pembelajaran adalah upaya untuk mengorganisasikan lingkungan untuk menciptakan kondisi belajar bagi peserta didik, yang kegiatannya dirancang melibatkan proses mental dan fisik melalui interaksi antar peserta didik, peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumber belajar lainnya dalam rangka pencapaian kompetensi dasar. 

Baca selengkapnya...>>>

Klik Disini untuk DOWLOAD skripsi FULL CONTENT

Pengertian Balajar dan Landasan Teori Belajar

 Menurut Sri Rumini (2006: 59) belajar adalah suatu proses usaha yang dilakukan individu untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang relatif menetap, baik yang dapat diamati maupun yang tidak dapat diamati secara langsung, yang terjadi sebagai suatu hasil latihan atau pengalaman dalam interaksinya dengan lingkungan. Sedangkan Arnie Fajar (2005: 10) mengatakan bahwa belajar adalah suatu proses perubahan dalam diri seseorang yang ditampakkan dalam bentuk peningkatan kualitas dan kuantitas tingkah laku seperti peningkatan pengetahuan, kecakapan, daya pikir, sikap, kebiasaan, dan lain-lain. Menurut M. Sobry Sutikno (2007: 5) belajar merupakan suatu proses usaha yang dilakukan oleh seseorang untuk memperoleh suatu perubahan yang baru sebagai hasil pengalamannya sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya. Berdasarkan beberapa pengertian di atas dapat disimpulkan bahwa belajar adalah proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh perubahan serta peningkatan kualitas dan kuantitas tingkah laku di berbagai bidang yang terjadi akibat melakukan interaksi dengan lingkungannya... Baca selengkapnya...>>>

Klik Disini untuk DOWLOAD skripsi FULL CONTENT

Pengertian Kepuasan Konsumen

Kotler (1996) dalam Tjiptono (1997) menyatakan bahwa kepuasan pelanggan adalah tingkat perasaan seseorang setelah membandingkan kinerja atau hasil yang ia rasakan dibandingkan dengan harapannya. Kepuasan merupakan tingkat perasaan konsumen yang diperoleh setelah konsumen melakukan/menikmati sesuatu. Dengan demikian dapat diartikan bahwa kepuasan konsumen merupakan perbedaan antara yang diharapkan konsumen (nilai harapan) dengan situasi yang diberikan perusahaan (perguruan tinggi) di dalam usaha memenuhi harapan konsumen.

Soelasih (2004) mengemukakan bahwa jika nilai harapan sama dengan nilai persepsi maka konsumen akan merasa puas dan jika nilai harapan lebih sedikit daripada nilai persepsi maka konsumen akan sangat puas. Namun jika nilai harapan lebih besar dari nilai persepsi maka konsumen tidak puas.

Nilai harapan dibentuk melalui pengalaman masa lalu, komentar atau saran dari pengguna dan informasi dari pesaing. Adapun nilai persepsi adalah kemampuan perusahaan di dalam melayani memuaskan konsumen. Ada tiga harapan mengenai suatu produk atau jasa yaitu:

1.      Kinerja yang wajar

2.      Kinerja yang ideal

3.      Kinerja yang diharapkan

Kinerja yang diharapkan adalah yang paling sering digunakan dalam penelitian karena logis dalam proses evaluasi alternatif yang dibahas. Ketidakpuasan konsumen terhadap suatu jasa pelayanan karena tidak sesuai dengan yang diharapkan dapat berdampak negatif terhadap keberhasilan jasa pelayanan tersebut (Eangel,1995). Perusahaan banyak menggunakan berbagai cara untuk mempertahankan salah satunya adalah memastikan kualitas produk dan jasa memenuhi harapan konsumen. Menurut Kotler (1996), pemenuhan harapan akan menciptakan kepuasan bagi konsumen. Konsumen yang terpuaskan akan menjadi pelanggan, mereka akan:

1.      melakukan pembelian ulang

2.      mengatakan hal-hal yang baik tentang perusahaan kepada orang lain.

3.      kurang memperhatikan merek ataupun iklan produk pesaing

4.      membeli produk yang lain dari perusahaan yang sama

Setiap perusahaan atau organisasi yang menggunakan strategi kepuasan konsumen akan menyebabkan para pesaingnya berusaha keras merebut atau mempertahankan konsumen suatu perusahaan. Kepuasan konsumen akan menyebabkan para pesaingnya berusaha keras merebut atau mempertahankan konsumen suatu perusahaan. Kepuasan konsumen merupakan strategi jangka panjang yang membutuhkan konsumen baik dari segi dana maupun sumber daya manusia (Schnaars,1991). Beberapa strategi yang dipadukan untuk meraih dan meningkatkan kepuasan pelanggan adalah:

1.      Relation Marketing yaitu strategi dimana transaksi pertukaran antara pembeli dan penjual berkelanjutan, tidak berakhir setelah penjualan selesai. Relationship Marketing berdasar pada:

a.       Fokus customer retention

b.      Orientasi manfaat produk

c.       Orientasi jangka panjang

d.      Layanan pelanggan yang sangat diperhatikan dan ditekankan

e.       Komitmen terhadap konsumen sangat tinggi

f.       Kontak dengan pelanggan sangat tinggi

g.       Kualitas yang merupakan perhatian sangat tinggi

2.      Strategi Superior Customer Service (Schnaars,1991)

Strategi ini menawarkan strategi yang lebih baik daripada pesaing. Perusahaan atau organisasi yang menggunakan strategi ini harus memiliki dana yang cukup besar dan kemampuan SDM yang unggul, serta memiliki usaha yang gigih agar tercipta suatu pelayanan yang menawarkan customer service yang lebih baik akan membebankan harga yang lebih tinggi daripada produk atau jasa yang dihasilkan.

3.      Strategi unconditional guarantees atau extra ordinary guarantees.

Strategi ini berintikan komitmen untuk memberikan kepuasan konsumen yang akhirnya akan menjadi sumber dinamisme penyempurnaan mutu produk atau jasa dan kinerja perusahaan.

4.      Strategi penanganan keluhan yang efisien (Schnaars, 1991)

Memberikan peluang bagi perusahaan untuk mengubah konsumen yang tidak puas (unsatisfied customer) menjadi konsumen yang puas (satisfied customer) terhadap produk atau jasa yang dihasilkan perusahaan.

5.      Strategi peningkatan kinerja perusahaan

Suatu strategi meliputi berbagai upaya seperti melakukan pemantauan dan pengukuran kepuasan konsumen secara berkesinambungan, memberikan pendidikan dan pelatihan yang mencakup komunikasi dan public relation terhadap pihak manajemen dan karyawan, memasukkan unsur kemampuan untuk memuaskan konsumen yang penilaiannya bias didasarkan pada survei konsumen, dalam sistem penilaian prestasi karyawan dan memberikan enpowerment yang lebih besar kepada karyawan dalam melaksanakan tugasnya.

6.      Penerapan Quality Function Deployment (QFD)

Merupakan praktek dalam merancang suatu proses sebagai tanggapan terhadap kebutuhan konsumen. Hal ini melibatkan konsumen dalam proses mengembangkan produk atau jasa sedini mungkin. Dengan demikian memungkinkan perusahaan untuk memperioritaskan kebutuhan konsumen serta memperbaiki proses hingga tercapainya efektivitas maksimum.

0001pt; text-align: justify;"> Kepuasan pelanggan menurut Rangkuti (2004) adalah mengukur sejauh mana harapan pelanggan terhadap produk atau jasa yang diberikan dan telah sesuai dengan aktual produk atau jasa yang ia rasakan. Menurut Eangel (1990), kepuasan pelanggan merupakan evaluasi purna beli di mana alternatif yang dipilih sekurang-kurangnya memberikan hasil (outcome) sama atau melampaui harapan pelanggan, sedangkan ketidakpuasan pelanggan timbul apabila hasil yang diperoleh tidak memenuhi harapan pelanggan. Sementara Kotler (2002) secara umum ia menyatakan bahwa:

“Kepuasan adalah perasaan senang atau kecewa seseorang yang muncul setelah membandingkan antara persepsi/kesannya terhadap kinerja (atau hasil) suatu produk dan harapan-harapannya”.

Metode Numerik Pada Persamaan Linear

Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan yang terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan  dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa.

9

Sebagai ilustrasi untuk persamaan non-linear berderajat lebih dari dua dapat dikatakan mempunyai penyelesaian yang tidak mudah bahkan dan tidak mungkin diselesaikan secara analitik.  Tetapi bukan berarti persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja menyelesaikan persamaan semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama. Dengan dasar inilah dapat dikatakan bahwa diperlukan suatu metode tertentu yang dapat digunakan untuk menghitung persamaan tersebut. Meskipun metode tersebut tidak dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat), setidak-tidaknya sudah mendekati nilai yang diharapkan. (Amang, 2006 : 1)

Penyelesaian persamaan non-linear adalah penentuan akar-akar persamaan non-linear. Dimana akar sebuah persamaan f(x) = 0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dengan garis y = 0.

SKRIPSI MATEMATIKA: Regula Falsi Menggunakan Cara Komputasi serta mengetahui perbedaan kecepatannya dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi

Latar Belakang

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan.

Sebagai ilustrasi, diberikan beberapa contoh berikut ini :

1.      Penyelesaian akar-akar persamaan polinom :

23,4x⁷ – 1,25x⁶ + 120x⁴ + 15x³ - 120x² - x + 100 = 0

2.      Pencarian harga x yang memenuhi persamaan:

3.      Penyelesaian sistem persamaaan linear :

1,2a - 3b - 12c + 12d + 4,8e – 5,5f + 100g = 18

0,9a + 3b - c + 16d + 8e - 5f - 10g = 17

4,6a + 3b - 6c - 2d + 4e + 6,5f - 13g = 19

1

3,7a - 3b + 8c - 7d + 14e + 8,4f + 16g = 6

2,2a + 3b + 17c + 6d + 12e – 7,5f + 18g = 9

5,9a + 3b + 11c + 9d - 5e - 25f - 10g = 0

1,6a + 3b + 1,8c + 12d -7e +2,5f + g =-5

(Susy, 2006 : 1-2)

Setelah melihat beberapa contoh ilustrasi di atas, kemungkinan besar cara analitik tidak dapat digunakan. Untuk polinom berderajat 2, masih bisa dicari akarnya menggunakan rumus abc yang sudah terkenal, yaitu :

Namun, untuk polinom yang berderajat lebih besar dari 2, tidak ada rumus aljabar untuk menghitung akar polinom tersebut. Alternatifnya adalah dengan memanipulasi polinom, misalnya dengan pemfaktoran atau menguraikan polinom tersebut menjadi perkalian beberapa suku. Semakin tinggi derajat polinom, jelas semakin sukar memfaktorkannya. Begitu juga untuk menyelesaian sistem persamaan linear. Apabila sistem persamaannya hanya berupa dua atau tiga garis lurus dengan dua atau tiga peubah, masih dapat ditemukan solusinya (dalam hal ini titik potong kedua garis) dengan menggunakan rumus titik potong dua buah garis. Titik potong tersebut juga dapat ditemukan dengan menggambar kedua garis pada kertas grafik. Tetapi untuk sistem dengan jumlah persamaan dan jumlah peubah lebih besar dari tiga, tidak ada rumus yang dapat dipakai untuk memecahkannya.

Contoh-contoh ilustrasi di atas memperlihatkan bahwa ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar penyelesaian dari  menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) (Susy, 2006 : 3-5).

Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi, perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri juga relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non-linear , jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh angka di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995 : 3). Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameter (Susy, 2006 : 9).

Persamaan linear jika digambarkan pada sumbu kartesius berupa garis lurus. Sedangkan untuk persamaan non-linear jika digambarkan pada sumbu kartesius berupa kurva (garis  lengkung). Persamaan yang termasuk persamaan non-linear adalah persamaan polinomial, persamaan eksponensial, persamaan logaritmik, persamaan sinusoida, dan sebagainya (Munif, 1995 : 7). Sebagai contoh misalnya terdapat persamaan :  dengan daerah asal {x | -2 £ x £ 6, x Î R}. Persamaan tersebut jika digambarkan pada sumbu kartesius :

 

Dari gambar di atas terlihat jelas bahwa persamaan  jika digambarkan pada sumbu kartesius berupa kurva. Jika dicari nilai x yang memenuhi persamaan biasanya digunakan rumus abc, maka diperoleh x₁ = 0 dan x₂ = 4. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini pada gambar terlihat jelas yaitu titik potong garis dengan sumbu x.

Akan tetapi jika diilustrasikan untuk persamaan non-linear :         23,4x⁷ – 1,25x⁶ + 120x⁴ + 15x³ - 120x² - x + 100 = 0 maka rumus abc sudah tidak berlaku lagi, karena persamaan tersebut mempunyai pangkat yang lebih besar dari 2. Metode analitik tidak berlaku lagi karena terlalu memakan banyak waktu, tenaga dan pikiran. Jalan yang paling efektif dan efisien adalah dengan mengggunakan metode Numerik, karena hanya dengan beberapa langkah saja sudah bisa didapatkan apa yang diinginkan.

Penyelesaian yang digunakan dalam metode Numerik adalah penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error). Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin. Langkah pertama yang dilakukan dalam penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan metode Biseksi dan metode Regula Falsi adalah menetapkan nilai sebarang a sebagai batas atas dan nilai sebarang b sebagai batas bawah kemudian ditentukan nilai fungsi f(x) untuk x = a dan      x = b. Selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a).f(b) < 0, apabila terpenuhi syarat tersebut berarti akar fungsi terdapat di antara a dan b. Jika tidak terpenuhi maka kembali harus menetapkan nilai sebarang a dan b sedemikian rupa sehingga ketentuan perkalian terpenuhi (Wibowo, 2007 : 1). Jika ketentuan perkalian terpenuhi maka selanjutnya adalah menentukan titik c (titik di antara a dan b). Untuk metode Biseksi menggunakan rumus  sedangkan untuk metode Regula Falsi menggunakan rumus . Langkah selanjutnya adalah mencari nilai c yang lain sehingga didapat error yang kecil atau sama dengan nol.

Selain sederhana, metode Biseksi dan metode Regula Falsi mempunyai beberapa kelebihan yaitu proses iterasi lebih cepat, mudah untuk dibuat program dan tingkat kesalahan kecil. Untuk metode yang menghasilkan error kecil maka metode tersebut lebih teliti dibanding dengan metode lain. Dalam metode Numerik ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear, diantaranya metode Tabulasi, metode Biseksi, metode Regula Falsi, metode Iterasi bentuk x = g(x), metode Newton Rapson, metode Faktorisasi (P₃, P₄, P₅), metode Bairstow dan metode Quotient-Difference  (Q-D) (Munif, 1995 : 8).

Berdasarkan uraian di atas, tujuan utama penelitian ini adalah mempelajari penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi dan metode Regula Falsi Menggunakan Cara Komputasi serta mengetahui perbedaan kecepatannya dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.